Target class [App\Http\Controllers\Api\Auth\HogeController] does not exist
のエラー。
絶対にコントローラーは存在しているはずのに！！という場合。
api.phpの冒頭にuseが抜けている
use App\Http\Controllers\○○Controller;
をapi.phpの冒頭に書き忘れているパターン
コントローラー冒頭のnamespace部分のパスがまちがっている
コントローラーの冒頭のnamespaceのパスが違うのかも。
コマンドでコントローラーを生成した時には
namespace App\Http\Controllers;
となっていると思われる。
実際のコントローラーの配置を変更（フォルダ分けとか）しているのであれば、下記の例のように修正する必要がある。
namespace App\Http\Controllers\Api\Auth;
あくまで例だが実際のパスとあっているか確認が必要。
